第003回論理③ 〜平方が偶数ならその数は偶数？〜

問．次を証明してみましょう。

$n$ :自然数，

「 $n^2$ が偶数ならば、 $n$ は偶数」

ちょっと考えてみて、解説をどうぞ。今回は少し長めの14分間となっています。

今回は14分と長くなちゃいましたが、極力10分ほどにおさめて、手軽に楽しんでもらいたいなぁと思っています。

今回から少し数式を扱っています。予備知識として押さえておきたいことをここで捕捉させていただきます。

自然数は、「偶数」と「奇数」に分けることができます。偶数とは、2の倍数のもの。奇数は2の倍数でないもの。

ということで、「偶数でない」はつまり、「2の倍数でない」。よって「奇数」ということになります。

偶数とは2の倍数である、ということから、それを数式で表現することができます。

今、 $n$ が偶数である、とします。 $n$ は偶数、つまり2の倍数なので、自然数 $m$ を使って、

$n=2m$

と表すことができます。

今、 $n$ が偶数である、とします。奇数は、2の倍数でない数なので、偶数に具体的な奇数を足したりして、"2の倍数ではない"数を作ってやればいい。一番簡単なのは、1を足したり1を引いたりしてやることです。

なので、自然数 $m$ を使って、

$n=2m-1$

これが奇数の表し方です。

解説中では、

$(2m-1)^2=4m^2-4m+1$

という計算をしています。これは、

2乗の展開公式

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

を用いました。

では、ご視聴いただきありがとうございました。